Question

关于函数f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

（x∈R）有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的图象可由y=2cos2x的图象向右平移

π

6

个单位得到；
③y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称；
④y=f（x）在区间[

π

6

，

π

3

]上是减函数．
其中是假命题的序号有

①②③

．

Answer 1

分析：先把f（x）化为f（x）=2sin(2x+

π

3

)．
①根据f（x₁）=f（x₂）=0可得x1-x2=

kπ

2

，对k讨论即可；
②把f（x）向右平移

π

6

个单位可得f(x-

π

6

)，再化简比较即可；
③若y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，则必有f(-

π

6

)=±2，否则关于直线x=-

π

6

不对称；
④利用y=sinx在区间[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈Z)单调递减进行判断即可．

解答：解：∵f（x）=

3

(2cos2x-1)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)．
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得2sin(2x1+

π

3

)=2sin(2x2+

π

3

)=0，
∴2x1+

π

3

=k1π，2x2+

π

3

=k2π．
∴2x₁-2x₂=（k₁-k₂）π，
∴x1-x2=

kπ

2

．
当k=2n（n∈Z）时，x₁-x₂=nπ，此时x₁-x₂是π的整数倍；
当k=2n+1，（n∈Z）时，x1-x2=

2n+1

2

π=nπ+

n

2

π，此时x₁-x₂不是π的整数倍；
故①不正确；
②由y=2cos2x的图象向右平移

π

6

个单位得到y=2cos2(x-

π

6

)=2cos(2x-

π

3

)=2sin(2x+

π

6

)≠2sin(2x+

π

3

)，故②不正确；
③f(-

π

6

)=2sin(-

π

6

×2+

π

3

)=0≠±2，故y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

不对称，∴③不正确；
④∵

π

6

≤x≤

π

3

，∴

2π

3

≤2x+

π

3

≤π，∴函数f（x）=2sin(2x+

π

3

)在区间[

π

6

，

π

3

]上是减函数，∴④正确．
综上可知：假命题是①②③．
故答案为①②③．

点评：正确理解函数y=Asin（ωx+φ）的对称性、单调性和平移变换等性质是解题的关键．