Question

已知向量=，=，函数f（x）=•．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求f（2B）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式化简 函数f（x）=的解析式为 sin（+）+，可得函数的最小正周期4π．令 2kπ+≤+≤2kπ+，k∈z，求得 x的范围，即可求得故函数的单调减区间．
（Ⅱ）由余弦定理化简可得b²+c²-a²=bc，可得cosA=，求得 A=，可得B+C=，再由三角形为锐角三角形可得 ＜B+＜，再根据正弦函数的定义域和值域求得f（2B）=sin（B+）+ 的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）==sincos+=sin++=sin（+）+，
故函数的最小正周期为 =4π．
令 2kπ+≤+≤2kπ+，k∈z，求得  4kπ+≤x≤4kπ+，k∈z，
故函数的单调减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）在锐角△ABC中，∵，由余弦定理可得 a•+=b．
化简可得b²+c²-a²=bc，∴cosA==，∴A=．
∴B+C=，∴-=＜B＜，∴＜B+＜，∴＜sin（B+）≤1
f（2B）=sin（B+）+∈（ ，]，即f（2B）的取值范围为（ ，]．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两角和差的正弦函数，余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．