Question

（本小题满分14分）

已知数列{x_n}的各项为不等于1的正数，其前n项和为S_n，点P_n的坐标为（x_n,S_n），若所有这样的点P_n (n=1,2，…)都在斜率为k的同一直线(常数k≠0,1)上.

   （Ⅰ）求证：数列{x_n}是等比数列；

   （Ⅱ）设满足

y_s=,y_t=（s,t∈N，且s≠t）共中a为常数，且1<a<,试判断，是否存在自然数M，使当n>M时，x_n>1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由.

Answer 1

证明（1）∵点，都在斜率为k的直线上

∴=k，即=k，………………………………………(1分)

故  (k－1)x_n+1=kx_n

∵k≠0,x_n+1≠1,x_n≠1，………………………………………(3分)

∴==常数，∴{x_n}是公比为的等比数列。……………………………(4分)

   （2）答案是肯定的，即存在自然数M，使当n>M时，x_n>1恒成立。………………(5分)

事实上，由1<a<，得0<2a²－3a+1<1 …………………………………(6分)

∵y_n=log (2a²－3a+1)，

∴= logx_n ………………………………………(8分)

由（1）得{x_n}是等比数列，设公比为q>0首项为x₁，则x_n=x₁·q^n－1(n∈N)

∴=(n－1) logq+logx₁

令d=logq，故得{}是以d为公差的等差数列。

又∵=2t+1, =2s+1，

∴－=2(t－s)

即(s－1)d－(t－1)d=2(t－s)，

∴d=－2………………………………………(10分)

故=+（n－s）(－2)=2（t+s）－2n+1（n∈N）

又∵x_n=(2a²－3a+1)  （n∈N）

∴要使x_n>1恒成立，即须<0………………………………………(12分)

∴2(t+s)－2n+1<0，∴n>(t+s)+，当M=t+s，n>M时，我们有<0恒成立，

∴当n>M=(t+s)时，>1恒成立。（∵0<2a²－3a+1<1）…………………(14分)