Question

已知f′（x）是函数f（x）=lnx+（x＞0，n∈N^*）的导函数，数列{a_n}满足1，a_n+1=
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=，S_n为数列{b_n}的前n项和，求（S_n+b_n）•

Answer 1

解（1）∵f（x）=lnx+，∴f′（x）=+，
结合a_n+1=，可得+=，∴-=，（3分）
因此-=（-）+（-）++（-）+（-）
=++++=1-，
所以=2-，即a_n=，n∈N^*．（6分）
（2）b_n=（2n-1）•（2-）=（2n-1）•，
S_n=1×1+3×+5×++（2n-1）•，
S_n=1×+3×++（2n-3）•+（2n-1）•，
∴S_n=1+2[+++-（2n-1）•，（9分）
S_n=2+4•-（2n-1）=6--（2n-1）•=6-，
∴（s_n+b_n）=（6-）=6．（12分）
分析：（1）先求出函数的导数，然后代入a_n+1=，整理得到，-=，然后求出-，即可求出通项公式．
（2）首先求出数列{bn}通项公式，然后表示是出s_n和s_n，再做差求得s_n进而求出极限．
点评：本题考查了数列的求和、数列的极限等知识，对于等差数列和等比数列乘积形式的数列，一般采取错位相减的方法，属于中档题．