Question

（2010•温州二模）已知f′（x）是函数f(x)=

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x3-mx2+(m2-1)x+n的导函数，若函数y=f[f′（x）]在区间[m，m+1]上单调递减，则实数m的范围是

-1≤m≤0

．

Answer 1

分析：求出函数f（x）的导函数，由导函数的符号得到原函数的单调区间，再求出导函数的导函数，得到导函数的单调区间，由导函数在区间[m，m+1]上单调递增求出其值域[-1，0]，借助于符合函数的单调性把问题转化为[-1，0]⊆[m-1，m+1]求解．

解答：解：由函数f(x)=

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x3-mx2+(m2-1)x+n，
得f′（x）=x²-2mx+m²-1=（x-m）²-1，
由（x-m）²-1＞0，得x＜m-1或x＞m+1，
∴函数f（x）的增区间为（-∞，m-1），（m+1，+∞），
由（x-m）²＜0，得m-1＜x＜m+1，
∴函数f（x）单调减区间为[m-1，m+1]．
由f''（x）=2x-2m，得f'（x）的单调增区间为[m，+∞），单调减区间为（-∞，m]．
∵函数f'（x）在[m，m+1]上单调递增，
∴函数f'（x）在[m，m+1]上的值域为[-1，0]，
又∵函数y=f[f′（x）]在区间[m，m+1]上单调递减，也就是函数y=f（x）在区间[-1，0]上单调递减，
因此要满足条件[-1，0]⊆[m-1，m+1]．
即

m-1≤-1 m+1≥0

，
解得：-1≤m≤0．
∴实数m的范围是：-1≤m≤0．
故答案为：-1≤m≤0．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了复合函数单调性问题，考查了数学转化思想方法，属中档题．