Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，且有Sn=n2+n(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=2n+1(n∈N*)，求数列{

an

bn

}的前n项和T_n；
（3）已知cn=

an

n+1

(n∈N*)，
①若?n∈N^*，使C_n≤k恒成立，求实数k的取值范围；
②若?n∈N^*，使C_n＜k成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）n=1时，a₁=S₁=2，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）设cn=

an

bn

=

n

2n

，则T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，由此利用错位相减法能求出数列{

an

bn

}的前n项和T_n．
（3）由Cn=

2n

n+1

=2-

2

n+1

，画出函数Cn=2-

2

n+1

的草图，由此能求出?n∈N^*，使C_n≤k恒成立，实数k的取值范围和?n∈N^*，使C_n＜k成立，实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵Sn=n2+n(n∈N*)，
∴n=1时，a₁=S₁=2，…（1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，…（2分）
n=1也符合，故an=2n(n∈N*)；…（4分）
（2）设cn=

an

bn

=

n

2n

，
则T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

①…（5分）
即

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

，
得Tn=2-

n+2

2n

．…（8分）
（3）由Cn=

2n

n+1

=2-

2

n+1

，…（9分）
画出函数Cn=2-

2

n+1

的草图，
由图象知，1≤C_n＜2，…（10分）
①则k≥2，即k∈[2，+∞）；…（12分）
②则k＞1，即k∈（1，+∞）．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列中满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答．