Question

9．已知曲线C：f（x）=x³-x+2，求经过点P（1，2）的曲线C的切线方程．

Answer 1

分析 设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点（x₀，y₀），求导f′（x）=3x²-1，从而可得在点（x₀，y₀）处的切线的方程为y-y₀=（3x₀²-1）（x-x₀）．从而得到方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={{x}_{0}}^{3}-{x}_{0}+2}\\{2-{y}_{0}=（3{x}_{0}^{2}-1）（1-{x}_{0}）}\end{array}\right.$，从而求切线方程．

解答 解：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点（x₀，y₀），
则由f′（x）=3x²-1得：在点（x₀，y₀）处的斜率k=f′（x₀）=3x₀²-1，
则在点（x₀，y₀）处的切线的方程为y-y₀=（3x₀²-1）（x-x₀）．
又因为点（x₀，y₀）与点P（1，2）均在曲线C上，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={{x}_{0}}^{3}-{x}_{0}+2}\\{2-{y}_{0}=（3{x}_{0}^{2}-1）（1-{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
消去y₀得x₀-x₀³=（3x₀²-1）（1-x₀），
解得x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$，
于是k=2或-$\frac{1}{4}$，
所以所求切线方程为y=2x或y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了导数的几何意义的应用及曲线的切线的求法，属于中档题．