Question

19．7位同学站成一排．问：
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？

Answer 1

分析 （1）采用捆绑法，将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列，问题得以解决；
（2）采用捆绑法，将甲、乙、丙三个同学同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的4个元素（同学）一起进行全排列，问题得以解决；
（3）先同（1），因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，问题得以解决；
（4）甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，进行全排列，问题得以解决．

解答 解　（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A₆⁶种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A₂²种方法．所以这样的排法一共有A₆⁶A₂²=1440种．
（2）方法同上，一共有A₅⁵A₂²=720种．
（3）将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A₅²种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A₄⁴种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A₂²种方法．所以这样的排法一共有A₅²A₄⁴A₂²=960种方法．
（4）将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，∴一共有排法种数：A₃³A₄⁴A₂²=288 （种）．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，本题在计数时根据具体情况选用了捆绑法等方法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义，属于中档题．