Question

已知真命题：过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)左顶点A（-a，0）作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P(

a(a2-b2)

a2+b2

，0)．类比此命题，写出关于抛物线y²=2px（p＞0）的一个真命题：

过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P（2p，0）

．

Answer 1

分析：由类比推理，来得到关于抛物线的类似结论，易知在抛物线中有“过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P（2p，0）”求解即可．

解答：解：已知过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)左顶点A（-a，0）作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P(

a(a2-b2)

a2+b2

，0)．
类比此命题，取特殊的抛物线：直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．证明：直线l过定点如下：
证明：设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．（2分）
联立方程得：

y=kx+b y2=2x

消去y得k²x²+（2kb-2）x+b²=0
由题意：x1x2=

b2

k2

，&

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=

2b

k

（5分）
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
即

b2

k2

+

2b

k

=0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）
故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0
联立方程得：

x=m y2=2x

解得 y=±

2m

，即y₁y₂=-2m
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）
综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
故写出关于抛物线y²=2px（p＞0）的一个真命题：过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P（2p，0）
故答案为：过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P（2p，0）．

点评：本题主要考查类比推理，可以先猜测在抛物线中成立的命题在椭圆里面也成立．再计算在这个具体的椭圆里面所求的定值．关于椭圆的一个恒等式：“

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2a

b2

”是一个经常用到的式子，在以后的学习过程中希望大家多总结．