Question

已知p：“过定点（0，1）的动直线l恒与椭圆x²+

y2

a

=1有两个不同的公共点”；q：“函数f（x）=

1

3

x³+ax²+2ax+1在R上存在极值”；若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据复合命题真假之间的关系，求出对应的a的取值范围即可得到结论．

解答：解：若p为真，则直线l过的定点（0，1）必在椭圆内部，即0＜

1

a

＜1⇒a＞1，
若q为真，则f'（x）=x²+2ax+2a=0有两个相异的实数根，
即得△＞0⇒4a²-8a＞0⇒a＞2或a＜0，
由p且q为假，p或q为真得：

a＞1 0≤a≤2

或

a≤1 a＞2或a＜0

，
∴实数a的取值范围a＜0或1＜a≤2．

点评：本题主要复合命题之间的关系，先判断命题的真假关系是解决本题的关键．