Question

（本题满分16分）已知：圆C过定点A(0，p)，圆心C在抛物线x²=2py上运动，若MN为圆C在X轴上截和的弦，设|AM|=m，|AN|=n，∠MAN=α,

(1).当点C运动时，|MN|是否变化？写出并证明你的结论；

(2).求的最大值，并求取得这个最大值时α的值和此时圆C的方程.

 

Answer 1

(1)解法一：过C作CH⊥x轴于H

设C(x₀,)

∴MN=2MH=.

解法二：由题意得：⊙C的方程(x-x₀)²+(y-y₀)²=x₀²+(y₀-1)².

把y=0和x₀²=2py₀代入整理得x²-2x₀x+x₀²+x_p²=0. 解之得方程的两根分为

x₁=x₀-p，x₂=x₀+p.   ∴ |MN|=|x₁-x₂|=2P.

∴点C运动时，|MN|不会变化，|MN|=2P(定值)

(2)设∠MAN=

∵|OA||MN|=p²，∴

∵，     ∴.

∴.

∵只有当C在O点处时，为直径上圆周角，其他时候都是劣弧上的圆周角.

∴，

故当时，原式有最大值.

∵∠MAN=，∴∠MCN=2∠MAN=∴y₀=P，x₀=，r=.

所求圆的方程为