Question

8．设函数f（x）=$\frac{x+b}{ax-1}$（x∈R，且，a≠0．x≠$\frac{1}{a}$）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，指出f（x）与g（x）=$\frac{1}{x}$的图象变换关系以及函数f（x）的图象的对称中心；
（2）证明：若ab+1≠0，则f（x）的图象必关于直线y=x对称．

Answer 1

分析 （1）将f（x）的解析式整理可得f（x）=2+$\frac{1}{x-2}$，由g（x）的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到．
再由g（x）的对称中心，即可得到所求f（x）的对称中心；
（2）若ab+1≠0，则f（x）不为常函数．设f（x）的图象上任一点为（m，n），证明点（n，m）也在f（x）的图象上，即可得证．

解答 解：（1）若a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，即有f（x）=$\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}x-1}$
=$\frac{2x-3}{x-2}$=2+$\frac{1}{x-2}$，
则f（x）的图象可由g（x）=$\frac{1}{x}$的图象先向右平移2个单位，
再向上平移2个单位得到．
由g（x）的图象的对称中心为（0，0），则f（x）的图象对称中心为（2，2）；
（2）证明：若ab+1≠0，则f（x）不为常函数．
设f（x）的图象上任一点为（m，n），
即有f（m）=n，即为$\frac{m+b}{am-1}$=n，
即有m+b=amn-n，
可得（an-1）m=n+b，
即有m=$\frac{an-1}{n+b}$，则f（n）=m，
即点（n，m）也在函数f（x）的图象上，
而（m，n）和（n，m）关于直线y=x对称．
故f（x）的图象必关于直线y=x对称．

点评 本题考查函数的图象变换和函数的对称中心的求法，考查函数的对称性的证明，注意运用点的对称，属于中档题．