Question

16．己知f（x）=x²-2x+2，在[$\frac{1}{4}$，m²-m+2]上任取三个数a，b，c，均存在以 f（a），f（b），f（c）为三边的三角形，则m的取值范围为（　　）

• A． （0，1）
• B． [0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 先把二次函数解析式配方，然后根据自变量x的范围x∈[$\frac{1}{4}$，m²-m+2]，求出f（x）的最大值和最小值，根据三角形的两边之和大于第三边，由最小值的2倍大于最大值，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．

解答 解：f（x）=x²-2x+2的对称轴为x=1，
在[$\frac{1}{4}$，m²-m+2]上，由于m²-m+2＞1恒成立，
即有x=1处取得最小值1，
由于m²-m+2-1=m²-m+1=（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$=1-$\frac{1}{4}$，
即有x=m²-m+2处取得最大值，且为（m²-m+1）²+1，
不妨设f（a）=f（b）=1，f（c）=（m²-m+1）²+1，
由以 f（a），f（b），f（c）为三边的三角形，
由构成三角形的条件可得2＞（m²-m+1）²+1，
解得0＜m＜1．
故选A．

点评 此题考查了二次函数在闭区间上的最值，以及三角形三边的关系，求出二次函数在闭区间的最大值和最小值，利用最值根据三角形的边关系列出关于m的方程是解本题的关键．