Question

7．△ABC中，BC=3，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D．若BD=2DC，则△ABC面积是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知解得CD=1，BD=2，由D点向AB引垂线，设垂足为E，可求DE=1，BE=$\sqrt{3}$，AC=AE，由$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}=\frac{AC}{AC+\sqrt{3}}$，解得：AC=$\sqrt{3}$，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵BC=3，BD=2DC，
∴可得：CD=1，BD=2，
由D点向AB引垂线，设垂足为E，
∵∠A的平分线交BC于D．则DE=1，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∵△ACD≌△AED，可得：AC=AE，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}=\frac{AC}{AC+\sqrt{3}}$，解得：AC=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=S_△ACD+S_△ABD=$\frac{1}{2}AC•CD$+$\frac{1}{2}AB•DE$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$+$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．