Question

15．求下列极限．
（1）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin3x}{2x}$
（2）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx-sinx}{{x}^{3}}$
（3）$\underset{lim}{x→π}$$\frac{sin3x}{sin2x}$
（4）$\underset{lim}{x→0}$xcot2x
（5）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{x+sinx}{x-2sinx}$．

Answer 1

分析 （1）x→0时，sinx→0，从而sinx的等价无穷小量为x，从而sin3x～3x，从而$\underset{lim}{x→0}\frac{sin3x}{2x}=\underset{lim}{x→0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$，以下几题都这样做；
（2）tanx-sinx=$sinx•\frac{1-cosx}{cosx}$～x$•\frac{{x}^{2}}{2cosx}$，这样便可求出该极限；
（3）sin3x～3x，sin2x～2x，从而可求该极限；
（4）$cot2x=\frac{cos2x}{sin2x}$～$\frac{cos2x}{2x}$，从而可求出该极限；
（5）sinx换上x便可求出该极限．

解答 解：（1）$\underset{lim}{x→0}\frac{sin3x}{2x}=\underset{lim}{x→0}（\frac{3}{2}•\frac{sin3x}{3x}）=\frac{3}{2}$；
（2）$tanx-sinx=\frac{sinx}{cosx}-sinx=sinx•\frac{1-cosx}{cosx}$；
∵sinx～x，1-cosx=$2si{n}^{2}\frac{x}{2}$～$\frac{{x}^{2}}{2}$；
∴$\underset{lim}{x→0}\frac{tanx-sinx}{{x}^{3}}=\underset{lim}{x→0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{{x}^{3}}$=$\underset{lim}{x→0}\frac{sinx•\frac{1-cosx}{cosx}}{{x}^{3}}$=$\underset{lim}{x→0}\frac{x•\frac{{x}^{2}}{2cosx}}{{x}^{3}}=\frac{1}{2}$；
（3）$\underset{lim}{x→π}\frac{sin3x}{sin2x}=\underset{lim}{x→π}\frac{-sin（3x-3π）}{sin（2x-2π）}$=$-\underset{lim}{x→π}\frac{3x-3π}{2x-2π}=-\frac{3}{2}$；
（4）$\underset{lim}{x→0}xcot2x=\underset{lim}{x→0}\frac{xcos2x}{sin2x}$=$\underset{lim}{x→0}\frac{xcos2x}{2x}=\frac{1}{2}$；
（5）$\underset{lim}{x→0}\frac{x+sinx}{x-2sinx}=\underset{lim}{x→0}\frac{x+x}{x-2x}=-2$．

点评 考查无穷小量的概念，知道sinx→0?x→0，从而用sinx的等价无穷小量来替换sinx从而求$\frac{0}{0}$极限的方法，以及切化弦公式，二倍角的余弦公式．