Question

11．已知（$\frac{1}{2}$）^x=$\frac{2a-1}{5a+2}$，试求实数a的取值范围，使得
（1）方程有解；
（2）方程有正根；
（3）方程有不小于1的解．

Answer 1

分析 （1）由指数函数的值域，解不等式$\frac{2a-1}{5a+2}$＞0，即可得到a的范围；
（2）由x＞0时，0＜（$\frac{1}{2}$）^x＜1，解不等式0＜$\frac{2a-1}{5a+2}$＜1，即可得到a的范围；
（3）由x≥1可得0＜（$\frac{1}{2}$）^x≤$\frac{1}{2}$，解不等式0＜$\frac{2a-1}{5a+2}$≤$\frac{1}{2}$，即可得到a的范围．

解答 解：（1）由x∈R，即有（$\frac{1}{2}$）^x＞0，
即为$\frac{2a-1}{5a+2}$＞0，解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{2}{5}$；
（2）由x＞0时，0＜（$\frac{1}{2}$）^x＜1，
∵关于x的方程（$\frac{1}{2}$）^x=$\frac{2a-1}{5a+2}$有正根，
∴0＜$\frac{2a-1}{5a+2}$＜1，
即为$\frac{2a-1}{5a+2}$＞0，且$\frac{a+1}{5a+2}$＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-1，
则有a的范围是（-∞，-1）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（3）由x≥1可得0＜（$\frac{1}{2}$）^x≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜$\frac{2a-1}{5a+2}$≤$\frac{1}{2}$，
由$\frac{2a-1}{5a+2}$＞0可得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{2}{5}$，
由$\frac{2a-1}{5a+2}$≤$\frac{1}{2}$，可得a＞-$\frac{2}{5}$或a≤-4．
即有a＞$\frac{1}{2}$或a≤-4．
则有a的范围是（-∞，-4]∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查了利用指数函数的单调性求函数的值域，分式不等式的求解，属于知识的简单综合．