Question

如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．
（1）求证：AF⊥DB；
（2）如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证AF⊥DB，只需证明AF垂直DB所在的平面DEB，即证明AF垂直平面DEB内的两条相交直线EB、DE即可．
（2）如果AB=a，设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，求出圆柱体积求出三棱锥D-ABE的体积，它们的比等于3π，然后求点E到截面ABCD的距离．
解答：（1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，
∵EB?平面ABE，
∴DA⊥EB，
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，
∵AF?平面DAE，
∴EB⊥AF，
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB，
∵DB?平面DEB，
∴AF⊥DB．

（2）解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB．
S_△ABD=AB•AD=
∴V_D-ABE=V_E-ABD=S_△ABD=dah
又V_圆柱=a²h
由题设知=3π，即d=．
点评：本题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，计算能力，是中档题．