Question

6．已知函数f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（Ⅰ）当a=4时，画出函数f（x）的图象，并写出其单调递增区间；
（Ⅱ）若a＞0，当实数c分别取何值时集合{x|f（x）=c}内的元素个数恰有一个、恰有两个、恰有三个？

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简f（x）=|x|•（4-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x＜0}\\{-{x}^{2}+4x，x≥0}\end{array}\right.$，从而结合二次函数的图象作图，从而写出单调区间；
（Ⅱ）化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x（a-x），x＜0}\\{x（a-x），x≥0}\end{array}\right.$，从而确定函数的单调性及极值，从而讨论元素的个数即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=|x|•（4-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x＜0}\\{-{x}^{2}+4x，x≥0}\end{array}\right.$，
作f（x）的图象如图，
其单调递增区间为[0，2]；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x（a-x），x＜0}\\{x（a-x），x≥0}\end{array}\right.$，
结合二次函数可知，
f（x）在（-∞，0]上是减函数，在（0，$\frac{a}{2}$）上是增函数，
在[$\frac{a}{2}$，+∞）上是减函数；
而f（0）=0，f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
故当c∈（-∞，0）∪（$\frac{{a}^{2}}{4}$，+∞）时，集合{x|f（x）=c}内的元素个数恰有一个，
当c=0或$\frac{{a}^{2}}{4}$时，集合{x|f（x）=c}内的元素个数恰有二个，
当c∈（0，$\frac{{a}^{2}}{4}$）时，集合{x|f（x）=c}内的元素个数恰有三个．

点评 本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了方程的根与图象的交点的关系应用．