Question

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令f(x)=2g(x+

1

2

)+mx-3m2lnx+

9

4

(m＞0，x＞0)．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；
（3）记函数H（x）=[x（x-a）²-1]•[-x²+（a-1）x+a-1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设g（x）=ax²+bx+c，根据g（x-1）+g（1-x）=2（x-1）²-2，可求a，c的值，利用g（1）=-1，可求b的值，从而得到g（x）的表达式；
（2）求导函数，令f'（x）=0，得x=m，对参数m分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数的最小值，利用f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，可求m的值；
（3）记h1(x)=x(x-a)2，h2(x)=-x2+(a-1)x+a，则据题意有h₁（x）-1=0有3个不同的实根，h₂（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等，进而分类讨论，即可确定实数a的取值范围．

解答：解：（1）设g（x）=ax²+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=2（x-1）²-2，所以

a= 1 2 c=-1

又g（1）=-1，则b=-

1

2

．所以g(x)=

1

2

x2-

1

2

x-1．
（2）f(x)=2g(x+

1

2

)+mx-3m2lnx+

9

4

=x2+mx-3m2lnx
则f′(x)=2x+m-

3m2

x

=

2x2+mx-3m2

x

=

(2x+3m)(x-m)

x

．
令f'（x）=0，得x=-

3m

2

（舍），x=m．
①当m＞1时，

x	1	（1，m）	m	（m，+∞）
f'（x）		-	0	+
f（x）	1+m	↘	2m2-3m2lnm	↗

∴当x=m时，fmin(x)=2m2-3m2lnm．
令2m²-3m²lnm=0，得m=e

2

3

．
②当0＜m≤1时，f'（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，
当x=1时，f_min（x）=1+m，令m+1=0，得m=-1（舍）．
综上所述，所求m为m=e

2

3

．
（3）记h1(x)=x(x-a)2，h2(x)=-x2+(a-1)x+a，则据题意有h₁（x）-1=0有3个不同的实根，h₂（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．
（ⅰ）h₂（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足g(

a-1

2

)＞1，∴a＞1或a＜-3；
（ⅱ）h₁（x）-1=0有3个不同的实根，因h1′(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a)，
令h1′(x)=0，得x=a或

a

3

，
1°当

a

3

＞a即a＜0时，h₁（x）在x=a处取得极大值，而h₁（a）=0，不符合题意，舍；
2°当

a

3

=a即a=0时，不符合题意，舍；
3°当

a

3

＜a即a＞0时，h₁（x）在x=

a

3

处取得极大值，h1(

a

3

)＞1⇒a＞

3 3 2

2

，所以a＞

3 3 2

2

因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故a＞

3 3 2

2

．
下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x₀使得h₁（x₀）-1=0和h₂（x₀）-1=0同时成立；
若存在x₀使得h₁（x₀）=h₂（x₀）=1，
由h₁（x₀）=h₂（x₀），即x0(x0-a)2=-

x

2 0

+(a-1)x0+a，
得(x0-a)(

x

2 0

-ax0+x0+1)=0，
当x₀=a时，f（x₀）=g（x₀）=0，不符合，舍去；
当x₀≠a时，有

x

2 0

-ax0+x0+1=0①；
又由g（x₀）=1，即-

x

2 0

+(a-1)x0+a=1②；
联立①②式，可得a=0；
而当a=0时，H（x）=（x³-1）（-x²-x-1）=0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．
综上，当a＞

3 3 2

2

时，函数y=H（x）有5个不同的零点．

点评：本题考查函数的解析式，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查函数的零点，综合性强，难度大．