Question

已知函数 f（x）=6lnx（x＞0）和 g（x）=ax²+8x（a为常数）的图象在x=3 处有平行切线．
（1）求 a 的值；
（2）求函数F（x）=f（x）-g（x）的极大值和极小值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=，g′（x）=2ax+8，------------------（2分）
根据题意，得f′（3）=g′（3）
解得a=-1----------------------------------------------（4分）
（2）F（x）=f（x）-g（x）=6lnx+x²-8x-------------------（5分）
令F′（x）=+2x-8，----------------------------------（5分）
得 x=1，3------------------------------------------------（7分）
∵0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；--------------（8分）
1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；------------------（9分）
x＞3时，F′（x）＞0，F（x）单调递增．----------------------（10分）
∴F（x） 的极大值为F（1）═-7，-------------------------（11分）
F（x） 的极小值为F（3）=-15+6ln 3-----------------------（12分）
分析：（1）先对两个函数求导，再由题目条件知，f′（3）=g′（3）从而建立关于a的方程，可求得a的值．
（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，通过探讨导数的符号得函数的单调性，即可的函数的极大值和极小值．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，是个中档题．