Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1有共同的焦点F₁、F₂，点P是它们的一个公共点，则△PF₁F₂的面积是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得出三角形的面积．

解答 解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF₁|=s，|PF₂|=t．
由双曲线和椭圆的定义可得$\left\{\begin{array}{l}{s+t=2\sqrt{m}}\\{s-t=2a}\end{array}\right.$，
解得s²+t²=2m+2a²，st=m-a²．
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=$\frac{2m+2{a}^{2}-4（m-1）}{2m-2{a}^{2}}$
∵m-1=a²+1，
∴m-a²=2，
∴cos∠F₁PF₂=0，∴∠F₁PF₂=90°．
∴△F₁PF₂面积为$\frac{1}{2}$st=1．
故选：A．

点评 本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力．熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键．