Question

若函数f （x）=-（a²-11a+10）x²-（a-1）x+2对一切实数x恒为正值，则实数a的取值范围是（ ）
A．1≤a≤9
B．1＜a＜9
C．a≤1或a＞9
D．1≤a＜9

Answer 1

【答案】分析：对于函数f（x）=ax²+bx+c，首先对二次项的系数分a=0和a≠0讨论，然后对a≠0再分与解出即可．
解答：解：①当-（a²-11a+10）=0时，解得a=1或a=10．
当a=10时，f（x）=-9x+2不满足对一切实数x恒为正值，故舍去．
当a=1时，f（x）=2满足对一切实数x恒为正值，因此a=1适合题意．
②当-（a²-11a+10）＞0时，解得1＜a＜10．
要使函数f （x）=-（a²-11a+10）x²-（a-1）x+2对一切实数x恒为正值，
则必有△=（a-1）²+8（a²-11a+10）＜0，又1＜a＜10，
解得1＜a＜9，满足题意．
③当-（a²-11a+10）＜0时，解得a＜1或a＞10．
要使函数f （x）=-（a²-11a+10）x²-（a-1）x+2对一切实数x恒为正值，
则必有△=（a-1）²+8（a²-11a+10）＜0，又a＜1或a＞10，
解得a∈∅．
综上可知：实数a的取值范围是1≤a＜9．
故选D．
点评：熟练掌握三个“二次”与判别式△的关系是解题的关键．