Question

若函数f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的图象关于点M(

π

3

，0)对称，且满足f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），则a+ω的一个可能的取值是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由题意可得，f（0）=f（

2π

3

），可得关于a与ω的关系式；又f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），可知f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的图象关于直线x=

π

6

对称，得关于a与ω的又一关系式；通过赋值可得答案．

解答：解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的图象关于点M（

π

3

，0）对称，
∴f（0）=f（

2π

3

），即a=sin

2πω

3

+acos

2πω

3

，
又f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），
∴f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的图象关于直线x=

π

6

对称，
∴f（0）=f（

π

3

），即a=sin

πω

3

+acos

πω

3

；
∴sin

2πω

3

+acos

2πω

3

=sin

πω

3

+acos

πω

3

；
不妨令ω=3，则0+a=0-a，
∴a=0，
∴a+ω=0+3．
即3是a+ω的一个可能值．
故选D．

点评：本题考查三角函数的性质，求得a是关键，考查正弦函数的对称性，考查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于难题．