Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4．
（1） 若f（x）在x=

4

3

处取得极值，求实数a的值；
（2） 在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3） 若存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，即函数f（x）的图象与直线y=m有两个交点，利用导数即求函数f（x）在区间[-1，1]上的最值；（3）解法一：存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0即寻找f（x）_max＞0是变量a的范围；解法二：存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，即即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解，分离参数，即求a＞g（x）_min，转化为求函数的最小值．

解答：（1）f'（x）=-3x²+2ax，由题意得f′(

4

3

)=0，解得a=2，经检验满足条件．
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，f'（x）=-3x²+4x，
令f'（x）=0，则x₁=0，x2=

4

3

（舍去）．f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

∴f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
∴f（x）_极小值=f（0）=-4，如图构造f（x）在[-1，1]上的图象．
又关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
则-4＜m≤-3，即m的取值范围是（-4，-3]．
（3）解法一：因存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，
故只需要f（x）的最大值f（x）_max＞0即可，
∵f（x）=-x³+ax²-4，∴f′(x)=-3x2+2ax=-3x(x-

2

3

a)．
①若a≤0，则当x＞0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）=-4＜0，∴当x＞0时，f（x）＜-4＜0，
∴当a≤0时，不存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立．
②当a＞0时f（x），f'（x）随x的变化情况如下表：

x	(0， 2 3 a)	2 3 a	( 2 3 a，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	4a3 27 -4	↘

∴当x∈（0，+∞）时，f(x)max=f(

2

3

a)=

4a3

27

-4，由

3a3

27

-4＞0得a＞3．
综上得a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
解法二：根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式a＞x+

4

x2

在（0，+∞）上有解即可．
令g(x)=x+

4

x2

，只需要a＞g（x）_min
而g(x)=x+

4

x2

=

x

2

+

x

2

+

4

x2

≥3

3	x 2 • x 2 • 4 x2

=3，当且仅当

x

2

=

4

x2

，即x=2时“=”成立．
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．

点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．