Question

已知f(

1

2

log

1

2

x)=

x-1

x+1

．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要判断函数f（x）的奇偶性，首先根据题目给出的条件利用换元法解出f（x），然后运用函数奇偶性的定义判断；
（Ⅱ）在（Ⅰ）求出的f（x）的基础上，直接借助于函数增减性的定义证明．

解答：解：（Ⅰ）令t=

1

2

log

1

2

x，所以x=(

1

2

)2t，所以有f（t）=

( 1 2 )2t-1

( 1 2 )2t+1

=

1-4t

1+4t

所以f（x）=

1-4x

1+4x

．此函数的定义域为R，因为f（-x）=

1-4-x

1+4-x

=

1- 1 4x

1+ 1 4x

=

4x-1

1+4x

=-

1-4x

1+4x

=-f(x)
所以函数f（x）为定义域上的奇函数．
（Ⅱ）函数f（x）为实数集上的减函数．
证明：设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1-4x1

1+4x1

-

1-4x2

1+4x2

=

(1-4x1)(1+4x2)-(1-4x2)(1+4x1)

(1+4x1)(1+4x2)

=

2(4x2-4x1)

(1+4x1)(1+4x2)

．因为x₁＜x₂，所以4x2-4x1＞0，所以

2(4x2-4x1)

(1+4x1)(1+4x2)

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），所以函数f（x）为实数集上的减函数．

点评：本题考查了对数的运算性质，函数的单调性、奇偶性的判断与证明，考查了换元法求解函数解析式，考查了学生的运算能力，是常见题型．