Question

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出144件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比.
已知商品单价降低2元时，一星期多卖出8件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

Answer 1

（1）（2）见解析

试题分析：（1）先设商品降价x元，写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低2元时，一星期多卖出24件”求出比例系数即可得一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，从而救是f（x）达到极大值．从而得出所以定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大．
试题解析：解：（1）设商品降价元，则每个星期多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有，   3分
又由已知条件，，于是有，                      5分
所以             6分
（2）由（1）得          7分
当变化时，与的变化如下表：

		2		12
	↘	极小	↗	极大	↘

   10分
故时，达到极大值．因为，，
所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．      13分