Question

下列说法，正确的是（　　）

• A．对于函数f（x）=

  1

  x

  ，因为f（-1）?f（1）＜0，所以函数 f（x）在区间（-1，1 ）内必有零点
• B．对于函数f（x）=x²-x，因为f（-1）f（2）＞0，所以函数 f（x）在区间（-1，2 ）内没有零点
• C．对于函数f（x）=x³-3x²+3x-1，因为f（0）f（2）＜0，所以函数f（x）在区间（ 0，2 ）内必有零点
• D．对于函数f（x）=x³-3x²+2x，因为 f（-1）f（3）＜0，所以函数f（x）在区间（-1，3 ）内有唯一零点

Answer 1

分析：结合函数的图象，利用根的存在性定理分别进行判断．A．利用函数f（x）=

1

x

的单调性判断．B．利用二次函数的图象进行判断．C．利用根的存在性定理判断．D．解函数的零点，利用零点进行判断．

解答：解：A．∵函数f（x）=

1

x

在（-1，0）和（0，1）上分别得到递减，由图象可知f（x）在区间（-1，1 ）内没有零点，∴A错误．
B．由f（x）=0得x=0或x=1，∴函数 f（x）在区间（-1，2 ）内存在零点x=0或x=1，∴B错误．
C．∵为f（0）f（2）＜0，∴函数f（x）在区间（ 0，2 ）内必有零点，∴C正确．
D．由f（x）=x³-3x²+2x=0．得x（x²-3x+2）=0，解得x=0或x=1或x=2，∴函数f（x）在区间（-1，3 ）内有存在三个零点，∴D错误．
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用根的存在性定理是解决本题的关键．