Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0。
（1）求a的取值范围；
（2）设g（x）= f（-x）- f′（x），求g（x）在上的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1），a+b=-1，
则
依题意对于任意x∈（0，1），f′（x）＜0
当a＞0时，因为二次函数的图像开口向上
而
所以
即
当a=1时，对任意x∈（0，1），有符合条件
当a=0时，对于任意x∈（0，1），符合条件
当a＜0时，因为不符合条件
故a的取值范围为。
（2）因
（i）当a=0时，上取得最小值
在x=1上取得最大值
（ii）当a=1时，对于任意x∈（0，1），有
g（x）在x=0取得最大值，g（0）=2，在x=1取最小值g（1）=0
（iii）当时，由
①若，g（x）在[0，1]上单调递增
g（x）在x=0取得最小值g（0）=1+a，在x=1取得最大值g（1）=（1-a）c
②取得最大值
取得最小值，而
则当，g（x）在x=0取得最小值
当，g（x）在x=1取得最大值。