Question

已知函数f（x）=x²+x+b（b为实数）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（C点异于A、B）．
（1）求b的取值范围；
（2）求过三点A、B、C的圆的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程,二次函数的性质

专题：直线与圆

分析：（1）直接一判别式大于0，即可求b的取值范围；
（2）求出三点A、B、C的坐标，设出圆的圆心坐标，求出圆心坐标以及半径，即可得到圆的方程

解答： 解：（1）函数 y=x²+x+b 的图象，与x轴交于A、B两点，则△=1-4b＞0，得 b＜

1

4

．
函数 y=x²+x+b 的图象，与y轴交于点C（C点异于A、B），
得 b≠0．则 0≠b＜

1

4

．
（2）y=x²+x+b=（x+

1

2

）²+b-

1

4

，
三点坐标：A（

-1- 1-4b

2

，0），B（

-1+ 1-4b

2

，0），C（0，b）．
过三点A、B、C的圆的圆心G在直线 x=-

1

2

上，设G（-

1

2

，y），
则GA=GC，得 y²+

1-4b

4

=

1

4

+（y-b）²，则 y=

1+b

2

，
半径 r=

b2-2b+2

2

．
则圆方程为 （x+

1

2

）²+（y-

b+1

2

）²=

(b-1)2+1

4

．

点评：本题看圆的方程的求法，二次函数的基本性质，考查基本知识的应用．