Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（

x

y

）=f（x）-f（y），f（2）=1，解不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用赋值法结合函数单调性的性质将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：∵f（

x

y

）=f（x）-f（y），
∴f（

x

y

）+f（y）=f（x），
∵f（2）=1，∴2=f（2）+f（2），
令y=2，

x

y

=2，即x=2y=4，
则f（2）+f（2）=f（4）=2，
则不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2．等价为不等式f[x（x-3）]≤f（4）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴不等式等价为

x(x-3)≤4 x＞0 x-3＞0

，即

-1≤x≤4 x＞0 x＞3

，
解得3＜x≤4，
即不等式的解集为（3，4]．

点评：本题主要考查不等式的求解，根据抽象函数，利用赋值法结合函数单调性的性质是解决本题的关键．