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已知一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点,其中一个公共点的坐标为(c,0),且当0<x<c时,恒有f(x)>0.
(1)当a=1,c=
12
时,求出不等式f(x)<0的解;
(2)求出不等式f(x)<0的解(用a,c表示);
(3)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a的取值范围;
(4)若不等式m2-2km+1+b+ac≥0对所有k∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)当a=1,c=
1
2
时,f(x)=x2+bx+
1
2
,f(x)的图象与x轴有两个不同交点,由此能求出 f(x)<0的解集.
(2)f(x)的图象与x轴有两个交点,由f(c)=0,设另一个根为x2,由此能求出f(x)<0的解集.
(3)由(2)的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(
1
a
,0),(0,c)
,这三交点为顶点的三角形的面积为S=
1
2
(
1
a
-c)c=8
,由此能求出a的取值范围.
(4)由f(c)=0,知ac2+bc+c=0,由c>0,知ac+b+1=0,由此能求出实数m的取值范围.
解答:(本小题满分(14分),(1)(2)小题每题(3分),(3)(4)小题每题4分)
解:(1)当a=1,c=
1
2
时,f(x)=x2+bx+
1
2

f(x)的图象与x轴有两个不同交点,
f(
1
2
)=0
,设另一个根为x2,则
1
2
x2=
1
2
,∴x2=1,
则 f(x)<0的解集为 (
1
2
,1)
.…(3分)
(2)f(x)的图象与x轴有两个交点,
∵f(c)=0,设另一个根为x2,则cx2=
c
a
x2=
1
a

又当0<x<c时,恒有f(x)>0,则
1
a
>c

∴f(x)<0的解集为(c,
1
a
)
…(6分)
(3)由(2)的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(
1
a
,0),(0,c)

这三交点为顶点的三角形的面积为S=
1
2
(
1
a
-c)c=8
,…(8分)
a=
c
16+c2
c
2
16
c
=
1
8
a∈(0,  
1
8
]
.…(10分)
(4)∵f(c)=0,∴ac2+bc+c=0,
又∵c>0,∴ac+b+1=0,…(11分)
要使m2-2km≥0,对所有k∈[-1,1]恒成立,则
当m>0时,m≥(2k)max=2           
当m<0时,m≤(2k)min=-2
当m=0时,02≥2k•0,对所有k∈[-1,1]恒成立
从而实数m的取值范围为  m≤-2或m=0或m≥2.…(14分)
点评:本题考查二次函数的性质和应用,综合性强,难度大.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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2x2+(a-10)x+5f(x)
>1

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1
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