Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（3，2），则p的值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．2
• D．4

Answer 1

分析：根据题意，算出直线AB的方程为y=x-

p

2

，与抛物线方程联解消去y得

1

2p

y²-y-

p

2

=0，利用中点坐标公式与韦达定理建立关于p的方程，解之即可得到p的值．

解答：解：∵抛物线y²=2px的焦点为F（

p

2

，0）
∴过焦点且倾斜角为45°的直线l方程为y=x-

p

2

，
与抛物线方程消去x，得

1

2p

y²-y-

p

2

=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=2p=2×2=4，解之得p=2
故选：C

点评：本题给出抛物线过焦点且倾斜角为45°的直线，在已知截得弦的中点坐标的情况下求焦参数p的值，着重考查了抛物线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于基础题．