Question

设抛物线M：y²=4x的焦点F是椭圆N：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点．若M与N的公共弦AB恰好过F，则椭圆的长轴长为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据对称性，可得AB⊥OF，求出抛物线的焦点，令x=1分别代入抛物线方程和椭圆方程，解得y，得到弦长，再由椭圆的a，b，c的关系，即可解得a，进而得到长轴长．

解答： 解：由于抛物线M与椭圆N的公共弦AB恰好过F，
则由对称性，可得AB⊥OF，
由于F（1，0），令x=1，代入抛物线方程，解得，y=±2，
则|AB|=4，x=1代入椭圆方程，可得，y=±

b

a

a2-1

，
即有

2b a2-1

a

=4，且a²-1=b²，
解得，a=

2

+1，
则椭圆的长轴长为2a=2

2

+2．
故答案为：2

2

+2．

点评：本题考查抛物线和椭圆的方程和性质，考查弦长的求法，考查运算能力，属于基础题．