Question

（2013•浦东新区二模）（1）设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1与双曲线C₂：9x2-

9y2

8

=1有相同的焦点F₁、F₂，M是椭圆C₁与双曲线C₂的公共点，且△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C₁的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2=

4x            (0≤x≤3) -12(x-4)  (3＜x≤4)

．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d₁，M到直线l：x=3的距离为d₂，求证：d₁+d₂为定值； 
（3）由抛物线弧E₁：y²=4x（0≤x≤

2

3

）与第（1）小题椭圆弧E₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（

2

3

≤x≤a）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求

r1

r2

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由△MF₁F₂的周长为6得a+c=3，由椭圆与双曲线共焦点可得c值，据平方关系可求得b；
（2）设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d₂=|x-3|．分M∈C₁时，M∈C₂时两种情况表示出d₁，再分别计算d₁+d₂即可求得定值；
（3）由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上），当x=

2

3

时，y=±

2 6

3

，此时r=

5

3

，cosα=-

1

5

，分类讨论：-

1

5

≤cosα≤1时，A在椭圆弧E₂上，-1≤cosα≤-

1

5

时A在抛物线弧E₁上，由条件可表示出此时r₁，相应地，B（1-r₂cosα，-r₂sinα），再按-1≤cosα≤-

1

5

时A在抛物线弧E₁上，B在椭圆弧E₂上，当

1

5

≤cosα≤1时A在椭圆弧E₂上，B在抛物线弧E₁上，
当-

1

5

≤cosα≤

1

5

时A、B在椭圆弧E₂上，利用三角函数性质分别求出

r1

r2

的范围即可．

解答：（1）解：由△MF₁F₂的周长为6得2（a+c）=6，即a+c=3，
椭圆C₁与双曲线C₂：9x2-

9y2

8

=1有相同的焦点，所以c=1，所以a=2，b²=a²-c²=3，
椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d₂=|x-3|．
当M∈C₁时，y²=4x（0≤x≤3），d1=

(x-1)2+y2

=|x+1|，
则d₁+d₂=|x+1|+|x-3|=（x+1）+（3-x）=4；
当M∈C₂时，y²=-12（x-4）（3＜x≤4），d1=

(x-1)2+y2

=|7-x|，
则d₁+d₂=|7-x|+|x-3|=（7-x）+（x-3）=4；
所以d₁+d₂=4为定值；
（3）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧E₁或椭圆弧E₂上加以分类，由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）：
当x=

2

3

时，y=±

2 6

3

，此时r=

5

3

，cosα=-

1

5

；
当-

1

5

≤cosα≤1时，A在椭圆弧E₂上，
由题设知A（1+r₁cosα，r₁sinα）代入

x2

4

+

y2

3

=1得，3（1+r₁cosα）²+4(r1sinα)2-12=0，
整理得（4-cos²α）r12+6r₁cosα-9=0，
解得r1=

3

2+cosα

或r1=

3

cosα-2

（舍去）．
当-1≤cosα≤-

1

5

时A在抛物线弧E₁上，
由方程或定义均可得到r₁=2+r₁cosα，于是r1=

2

1-cosα

，
综上，r1=

2

1-cosα

（-1≤cosα≤-

1

5

）或r1=

3

2+cosα

（-

1

5

≤cosα≤1）；
相应地，B（1-r₂cosα，-r₂sinα），
当-1≤cosα≤-

1

5

时A在抛物线弧E₁上，B在椭圆弧E₂上，

r1

r2

=

2

1-cosα

•

2-cosα

3

=

2

3

(1+

1

1-cosα

)∈[1，

11

9

]；
当

1

5

≤cosα≤1时A在椭圆弧E₂上，B在抛物线弧E₁上，

r1

r2

=

3

2+cosα

•

1+cosα

2

=

3

2

(1-

1

2+cosα

)∈[

9

11

，1]；
当-

1

5

≤cosα≤

1

5

时A、B在椭圆弧E₂上，

r1

r2

=

3

2+cosα

•

2-cosα

3

=

2-cosα

2+cosα

∈（

9

11

，

11

9

）；
综上

r1

r2

的取值范围是[

9

11

，

11

9

]．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求高．