Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，AA₁⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=AA₁=1，AB=2．
（1）求证：A₁C₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面A₁BD与平面BCC₁B₁所成二面角的大小．

Answer 1

（1）AA₁⊥底面ABCD，所以CC₁⊥A₁C₁…（1分），
取A₁B₁的中点E，连接EC₁，
则四边形A₁EC₁D₁是正方形，∠A1C1E=

π

4

…（3分），
又∵B₁E=C₁E=1，∠B1C1E=

π

4

，
∴∠A1C1B1=

π

2

，即A₁C₁⊥B₁C₁…（4分），
∵CC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁…（5分）．
（2）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示…（6分），
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），
A₁（1，0，1），C₁（0，1，1）…（7分），

DA1

=(1，0，1)，

DB

=(1，2，0)，

A1C1

=(-1，1，0)…（8分），
由（1）知，平面BCC₁B₁的一个法向量为

n1

=

A1C1

=(-1，1，0)…（9分），
设平面A₁BD的一个法向量为

n2

=(a，b，c)，
则

n2 • DB =0 n2 • DA1 =0

，即

a+2b=0 a+c=0

…（11分），
设b=1，则a=-2，c=2，可得

n2

=(-2，1，2)…（12分），
因此所求二面角大小为θ，满足cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，
结合θ∈[0，π]，可得所求二面角的大小为

π

4

…（14分）．