Question

如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是

 

．
①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；
②存在一个平面α₀，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；
③对于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH；
④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD；
③不存在一个平面α₀，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；
③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，可得对于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH．
④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC-EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．

解答： 解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD，因此不正确；
③不存在一个平面α₀，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；
③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，因此对于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH．
④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC-EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，因此是一个定值．
综上可知：只有③④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．