Question

若函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），由函数y=f^-1（x）确定数列{b_n}，bn=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若数列{b_n}是函数f（x）=

x+1

2

确定数列{a_n}的反数列，试求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若函数f（x）=2

x

确定数列{c_n}的反数列为{d_n}，求{d_n}的通项公式；
（3）对（2）题中的{d_n}，不等式

1 dn+1

+

1 dn+2

+…+

1 d2n

＞

1

2

log（1-2a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

x+1

2

，知f^-1（x）=2x-1，所以b_n=2n-1，由此能求出S_n．
（2）由f（x）=2

x

，知f-1(x)=

x2

4

，由此能求出{d_n}的通项公式．
（3）记Tn=

1 dn+1

+

1 dn+2

+…+

1 d2n

，得Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，故T_n+1-T_n=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

x+1

2

，
∴f^-1（x）=2x-1，
所以b_n=2n-1，
S_n=2（1+2+3+…+n）-n
=2×

n(n+1)

2

-n=n²．（4分）
（2）∵f（x）=2

x

，∴f-1(x)=

x2

4

，
所以d_n=

n2

4

．
（3）记Tn=

1 dn+1

+

1 dn+2

+…+

1 d2n

，
得Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
T_n+1-T_n=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
所以{T_n}递增，故（T_n）_min=T₁=1．
由已知得，

1

2

loga(1-2a)＜1，
解得0＜a＜

2

-1，
∴实数a的取值范围是（0，

2

-1）．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意反函数的合理运用，合理地进行等价转化．