Question

在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）若∠BAC=

π

3

，AB=AC=PA=2，E、F分别为棱AB、PC的中点，求线段EF的长；
（2）求证：“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”．

Answer 1

分析：（1）取AC的中点O，连接EO，FO．由三角形中位线定理及线面垂直的性质，结合PA⊥平面ABC，可得FO⊥EO，进而判断出△ABC是等边三角形，由O，E分别为线段AC，AB的中点，解三角形EOF，即可得到答案．
（2）结合已知条件，先证明若∠PBC=90°，则平面PBC⊥平面PAB，即必要性，再证明若平面PBC⊥平面PAB，则∠PBC=90°，即充分性，即可得到：“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”．

解答：解：（1）取AC的中点O，连接EO，FO．
因为F为棱的中点，所以FO∥PA，且FO=

1

2

PA=1，
因为PA⊥平面ABC，EO?平面ABC，所以PA⊥EO
所以FO⊥EO．----------（3分）
因为∠BAC=

π

3

，AB=AC=2，所以△ABC是边长为2的等边三角形．
所以BC=2，因为O，E分别为线段AC，AB的中点，
所以EO=

1

2

BC=1．----------（5分）
因此在直角三角形EOF中，EF=

OE2+OF2

=

2

．----------（6分）
证明：（2）（必要性，即先证明命题“若∠PBC=90°，则平面PBC⊥平面PAB”为真命题．）
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．
又因为∠PBC=90°，即PB⊥BC，PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB．
又因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．----------（10分）
（充分性，即证明命题“若平面PBC⊥平面PAB，则∠PBC=90°”为真命题．）
在平面PAB内，过A作AD⊥BC，D为垂足．
因为平面PBC⊥平面PAB，平面PBC∩平面PAB=PB．
所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．
又AD，PA?平面PAB，PA∩AD=A，所以BC⊥平面PAB．
所以BC⊥PB，即∠PBC=90°
综上，“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”．-------（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中证明充要条件的步骤，即先证明必要性，再证明充分性，进而综合证明结果得到结论，一定要熟练掌握．