Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．
（1）证明：AD⊥平面PBC；
（2）求三棱锥D-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABC，知PA⊥BC，由AC⊥BC，知BC⊥平面PAC，从而得到BC⊥AD．由此能够证明AD⊥平面PBC．
（2）由三视图得BC=4，由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，由此能求出三棱锥的体积．

解答：.（本小题满分12分）
解：（1）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．
由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
（2）由三视图可得BC=4，
由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，
又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积，
所以，所求三棱锥的体积V=

1

3

×

1

2

×4×

1

2

×4×4=

16

3

．

点评：本题考查利用几何体的三视图求直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．