Question

（2012年高考（湖南理））已知数列{a_n}的各项均为正数,记A(n)=a₁+a₂++a_n,B(n)=a₂+a₃++a_n+1,C(n)=a₃+a₄++a_n+2,n=1,2。

(1)  若a₁=1,a₂=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ a_n }的通项公式.

(2)  证明:数列{ a_n }是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.

Answer 1

 【解析】

解(1)对任意,三个数是等差数列,所以

 

即亦即

故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是

(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有

由知,均大于0,于是

 

 

即==,所以三个数组成公比为的等比数列.

(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,

则

,

于是得即

 

由有即,从而.

因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,

综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.