Question

12．已知f（x）=$\frac{lnx}{1+x}$，f（x）在x=x₀处取得最大值，以下各式正确的序号为①④
①f（x₀）＜x₀；   ②f（x₀）=x₀；  ③f（x₀）＞x₀；
④f（x₀）＜$\frac{1}{2}$；   ⑤f（x₀）＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 可知f（x）=$\frac{lnx}{1+x}$的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}{（x+1）^{2}}$，再令g（x）=$\frac{1}{x}$（x+1）-lnx=1+$\frac{1}{x}$-lnx，可判断其在（0，+∞）上是减函数；从而可得e＜x₀＜e²；而f（x）=$\frac{lnx}{1+x}$＜$\frac{ln（x+1）}{x+1}$；再令m（x）=$\frac{lnx}{x}$；从而可得f_max（x）＜m_max（x）=$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{2}$；从而得到答案．

解答 解：f（x）=$\frac{lnx}{1+x}$的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}{（x+1）^{2}}$，
令g（x）=$\frac{1}{x}$（x+1）-lnx=1+$\frac{1}{x}$-lnx，其在（0，+∞）上是减函数；
g（e）=1+$\frac{1}{e}$-1＞0，g（e²）=1+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2＜0；
故e＜x₀＜e²；
而f（x）=$\frac{lnx}{1+x}$＜$\frac{ln（x+1）}{x+1}$；令m（x）=$\frac{lnx}{x}$；
故f_max（x）＜m_max（x）；
而可判断m（x）=$\frac{lnx}{x}$在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
故m_max（x）=$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{2}$；
故f（x₀）＜$\frac{1}{2}$；f（x₀）＜x₀；
故答案为：①④．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数零点的判定定理的应用，属于中档题．