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设P(x,y)为椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
上的动点,A(a,0)(0<a<3)为定点,已知|AP|的最小值为1,求a的值.
分析:由P(x,y)为椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
上的动点,A(a,0)(0<a<3)为定点,知|AP|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4-
4
9
x2
=
5
9
(x-
9a
5
)2
+4-
4a2
5
,x∈[-3,3]及|AP|的最小值为1,能求出a的值.
解答:解:∵P(x,y)为椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
上的动点,A(a,0)(0<a<3)为定点,
∴|AP|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4-
4
9
x2

=
5
9
(x-
9a
5
)2
+4-
4a2
5
,x∈[-3,3],
∵0<a<3,∴0<
9a
5
27
5

当0
9a
5
≤3
,即0<a
5
3
时,
|AP|2min=4-
4
5
a2
=1,解得a=
15
2
(舍);
9a
5
>3
,即3>a>
5
3
时,
当x=3时取最小值,
则|AP|2min=a2-6a+9=1,解得a=2,或a=4(舍).
综上,a=2
点评:本题考查满足条件的实数值的求法,具体涉及到椭圆的性质,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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+
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=1
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