Question

9．若函数y=f（x）满足?x∈R，有f（1+x）=f（1-x）=f（x-1），则下列说法错误的是（　　）

• A． f（x）的图象关于直线x=1对称
• B． f（x）为奇函数
• C． f（x）是周期为2的函数
• D． f（x）为偶函数

Answer 1

分析 由已知的等式f（1+x）=f（1-x），可得函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；再把f（1-x）=f（x-1）变形可得函数为偶函数；最后结合f（1+x）=f（1-x）及函数为偶函数求得函数的周期，则答案可求．

解答 解：由f（1+x）=f（1-x），可得函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
又f（1-x）=f（x-1）=f[-（1-x）]，可知y=f（x）为偶函数，
由f（1+x）=f（1-x），得f（1+1+x）=f（1-1-x）=f（-x）=f（x）．
即f（2+x）=f（x），函数y=f（x）的周期为2．
∴选项A、C、D正确，则B错误．
故选：B．

点评 本题考查函数的性质，训练了与抽象函数有关的函数性质的判断，属中档题．