Question

以双曲线 9x²-16y²=144右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程为

（x-5）²+y²=9

．

Answer 1

分析：将双曲线化成标准形式，得a²=16，b²=9，所以c=5，得到右焦点为F（5，0），再用点到直线距离公式算出F到渐近线的距离，算出圆的半径，根据圆的标准方程得到所求圆的方程．

解答：解：双曲线 9x²-16y²=144化成标准形式为

x2

16

-

y2

9

=1
∴a²=16，b²=9，得c=

a2+b2

=5
∴双曲线右焦点为F（5，0），渐近线方程是3x±4y=0
∵圆与3x±4y=0渐近线相切
∴F（5，0）到渐近线的距离为d=

|3×5|

9+16

=3
结合题意，得所求圆以F（5，0）为圆心，半径r=3
∴圆方程为（x-5）²+y²=9
故答案为：（x-5）²+y²=9

点评：本题给出以双曲线右焦点为圆心的圆恰好与渐近线相切，求圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系和双曲线的基本概念等知识，属于基础题．