Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）写出a₂、a₃的值（只写结果）并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知a₂=6，a₃=12，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，所以a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，由此可知数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）．
（2）由题设条件可推出bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

=

1

(2n+ 1 n )+3

，令f(x)=2x+

1

x

(x≥1)，则f′(x)=2-

1

x2

，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故f（x）_min=f（1）=3，(bn)max=

1

6

，
要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，则须使t2-2mt+

1

6

＞(bn)max=

1

6

，即t²-2mt＞0，对?m∈[-1，1]恒成立，由此可知实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）∴a₂=6，a₃=12（2分）
当n≥2时，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]=2

n(n+1)

2

=n(n+1)（5分）
当n=1时，a₁=1×（1+1）=2也满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）（6分）
（2）bn=

1

an+1

+

1

an+2

++

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

++

1

2n(2n+1)

=

1

(n+1)

-

1

(n+2)

+

1

(n+2)

-

1

(n+3)

++

1

2n

-

1

(2n+1)

=

1

(n+1)

-

1

(2n+1)

=

n

2n2+3n+1

=

1

(2n+ 1 n )+3

（8分）
令f(x)=2x+

1

x

(x≥1)，则f′(x)=2-

1

x2

，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）_min=f（1）=3
即当n=1时，(bn)max=

1

6

（11分）
要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，
则须使t2-2mt+

1

6

＞(bn)max=

1

6

，
即t²-2mt＞0，
对?m∈[-1，1]恒成立，
∴

t2-2t＞0 t2+2t＞0

，解得，t＞2或t＜-2，
∴实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．