Question

在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{a_n}是等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列；
④若{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①②③④
• D、②③④

Answer 1

分析：根据等方差数列的定义①{a_n}是等方差数列，则a_n²-a_n-1²=p（p为常数），根据等差数列的定义，可证；②验证[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²是一个常数；③验证a_kn+1²-a_kn²是一个常数；④根据等方差数列和等差数列的定义，证明公差是零即可．

解答：解：①∵{a_n}是等方差数列，∴a_n²-a_n-1²=p（p为常数）得到{a_n²}为首项是a₁²，公差为p的等差数列；
∴{a_n²}是等差数列；
②数列{（-1）ⁿ}中，a_n²-a_n-1²=[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²=0，
∴{（-1）ⁿ}是等方差数列；故②正确；
③数列{a_n}中的项列举出来是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
数列{a_kn}中的项列举出来是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，
∵（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=（a_k+3²-a_k+2²）=…=（a_2k²-a_2k-1²）=p
∴（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
∴（a_kn+1²-a_kn²）=kp
∴{a_kn}（k∈N^*，k为常数）是等方差数列；故③正确；
④∵{a_n}既是等差数列，∴a_n-a_n-1=d，
∵{a_n}既是等方差数列，，∴a_n²-a_n-1²=p
∴（a_n+a_n-1）d=p，
1°当d=0时，数列{a_n}是常数列，
2°当d≠0时，a_n=

d

2

+

p

2d

，数列{a_n}是常数列，
综上数列{a_n}是常数列，故④正确，
故选C．

点评：本题考查等差数列的定义及其应用，解题时要注意掌握数列的概念，属基础题．