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已知无穷数列{an}具有如下性质:①a1为正整数;②对于任意的正整数n,当an为偶数时,an+1=
a n
2
;当an为奇数时,an+1=
an+1
2
.在数列{an}中,若当n≥k时,an=1,当1≤n<k时,an>1(k≥2,k∈N*),则首项a1可取数值的个数为
 
(用k表示).
分析:我们用倒推的方式,当n≥k时,an=1,则an-1=2,an-2=3或4,即2个;an-3=5或6或7或8,即4个;an-4=9或10或11或12或13或14或15或16,即8个,从而可得结论.
解答:解:我们用倒推的方式,∵对于任意的正整数n,当an为偶数时,an+1=
a n
2

当an为奇数时,an+1=
an+1
2
,在数列{an}中,若当n≥k时,an=1,
∴an-1=2,an-2=3或4,即2个;an-3=5或6或7或8,即4个;an-4=9或10或11或12或13或14或15或16,即8个,
由此可知首项a1可取数值的个数为2k-2个.
故答案为:2k-2
点评:本题考查数列递推式,考查学生分析解决问题的能力,用倒推的方式是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知无穷数列{an}前n项和Sn=
13
an-1
,则数列{an}的各项和为
 

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已知无穷数列{an}中a1=1,且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数-
1
2
,则无穷数列{an}的各项和
2
3
2
3

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(2009•闵行区一模)已知无穷数列{an},首项a1=3,其前n项和为Sn,且an+1=(a-1)Sn+2(a≠0,a≠1,n∈N*).若数列{an}的各项和为-
8
3
a
,则a=
-
1
2
-
1
2

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(2008•普陀区二模)已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am是以10为首项,以-2为公差的等差数列;am+1,am+2,…,a2m是以
1
2
为首项,以
1
2
为公比的等比数列(m≥3,m∈N*);并且对一切正整数n,都有an+2m=an成立.
(1)当m=3时,请依次写出数列{an}的前12项;
(2)若a23=-2,试求m的值;
(3)设数列{an}的前n项和为Sn,问是否存在m的值,使得S128m+3≥2008成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

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已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am构成首项为2,公差为-2的等差数列am+1,am+2,…,a2m,构成首项为
1
2
,公比为
1
2
的等比数列,其中m≥3,m∈N+
(l)当1≤n≤2m,n∈N+,时,求数列{an}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N+,都有an+2m=an成立.
①当a27=
1
64
时,求m的值;
②记数列{an}的前n项和为Sn.判断是否存在m,使得S4m+1≥2成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

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