Question

14．已知函数f（x）=$\frac{3}{2}$x²+ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，求不等式f（x）＜3的解集；
（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）-$\frac{1}{2}$a²-1＞0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简为二次不等式的一般式，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅱ）由题意可得$\frac{3}{2}$x²+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即为-a＜$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$在0＜x＜2恒成立，求出y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$的导数，单调区间，可得最小值，即可得到a的范围；
（Ⅲ）f（x）-$\frac{1}{2}$a²-1＞0，即为3x²+2ax-a²＞0，即（x+a）（3x-a）＞0，对a讨论，a=0，a＞0，a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）＜3，
即为$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1＜3，即3x²+x-4＜0，
解得-$\frac{4}{3}$＜x＜1，
则原不等式的解集为（-$\frac{4}{3}$，1）；
（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，
即有$\frac{3}{2}$x²+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，
即为-a＜$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$在0＜x＜2恒成立，
由y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$的导数为y′=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
可得函数y在（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）递减，（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，2）递增，
则y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$的最小值为2$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{6}$，
即有-a＜$\sqrt{6}$，解得a＞-$\sqrt{6}$；
（Ⅲ）f（x）-$\frac{1}{2}$a²-1＞0，
即为3x²+2ax-a²＞0，
即（x+a）（3x-a）＞0，
当a=0时，即为x²＞0，解集为{x|x≠0}；
当a＞0时，$\frac{a}{3}$＞-a，解集为{x|x＞$\frac{a}{3}$或x＜-a}；
当a＜0时，$\frac{a}{3}$＜-a，解集为{x|x＜$\frac{a}{3}$或x＞-a}．

点评 本题考查二次不等式的解法和恒成立问题的解法，考查分类讨论和参数分离，以及化简整理的运算能力，属于中档题．