Question

19．设点P在曲线y=2e^x上，点Q在曲线y=lnx-ln2上，则|PQ|的最小值为$\sqrt{2}$（1+ln2）．

Answer 1

分析 考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值．

解答 解：∵y=2e^x与y=lnx-ln2互为反函数，
先求出曲线y=2e^x上的点到直线y=x的最小距离．
设与直线y=x平行且与曲线y=2e^x相切的切点P（x₀，y₀）．
y′=2e^x，
∴2e${\;}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=ln$\frac{1}{2}$=-ln2，
∴y₀=2e${\;}^{ln\frac{1}{2}}$=1．
得到切点P（-ln2，1），
到直线y=x的距离d=$\frac{|-ln2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+ln2），
可得丨PQ丨的最小值为2d=$\sqrt{2}$（1+ln2），
故答案为：$\sqrt{2}$（1+ln2）．

点评 本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法．