Question

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首项为10，公差为－2的等差数列；a_m＋1，
a_m＋2，…，a_2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有a_n＋2m＝a_n成立．
（1）当m＝12时，求a₂₀₁₀；
（2）若a₅₂＝，试求m的值；
（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）a₂₀₁₀＝a₁₈＝a_12＋6＝．
（2），m＝45，或15，或9．
（3）不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立．

解（1）m＝12时，数列的周期为24．
∵2010＝24×83＋18，而a₁₈是等比数列中的项，
∴a₂₀₁₀＝a₁₈＝a_12＋6＝．
（2）设a_m＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则a_m＋k＝．
∵，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．
∴a₅₂最多是第三个周期中的项．
若a₅₂是第一个周期中的项，则a₅₂＝a_m＋7＝．
∴m＝52－7＝45；
若a₅₂是第二个周期中的项，则a₅₂＝a_3m＋7＝．∴3m＝45，m＝15；
若a₅₂是第三个周期中的项，则a₅₂＝a_5m＋7＝．∴5m＝45，m＝9；
综上，m＝45，或15，或9．
（3）2m是此数列的周期，
∴S_128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和．
∴S_2m最大时，S_128m＋3最大．
∵S_2m＝，
当m＝6时，S_2m＝31－＝；
当m≤5时，S_2m＜；
当m≤7时，S_2m＜＝29＜．
∴当m＝6时，S_2m取得最大值，则S_128m＋3取得最大值为64×＋24＝2007．
由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立．